Question

已知等差數(shù)列{a_n}，a₂+a₃+a₄=15，a_n＞0，且a₂，a₃+4，a₄+20為等比數(shù)列{b_n}的前三項．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）若數(shù)列c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由于a₂+a₃+a₄=15，a_n＞0，且a₂，a₃+4，a₄+20為等比數(shù)列{b_n}的前三項．可得3a₃=15，(a3+4)2=a2(a4+20)，即(a3+4)2=(a3-d)(a3+d+20)，解出可得a_n．由a₂=3，a₃+4=9，可得等比數(shù)列{b_n}的公比q=

9

3

=3．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂+a₃+a₄=15，a_n＞0，且a₂，a₃+4，a₄+20為等比數(shù)列{b_n}的前三項．
∴3a₃=15，(a3+4)2=a2(a4+20)，即(a3+4)2=(a3-d)(a3+d+20)，
解得a₃=5，d=2或-22，
∵a_n＞0，∴d=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1．
∴a₂=3，a₃+4=9，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比q=

9

3

=3．
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ，
∴3S_n=3²+3×3³+…+（2n-3）×3ⁿ+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=

2×3×(3n-1)

3-1

-3-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=（2-2n）×3ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（n-1）×3ⁿ⁺¹+3．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．