【題目】將平面上每個(gè)點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一著色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角形，它們的相似比為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色。

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

首先證明平面上一定存在三頂點(diǎn)同色的直角三角形.在平面上任作直線(xiàn)，則上必有兩點(diǎn)同色，設(shè)此兩點(diǎn)為，.過(guò)，分別作的垂線(xiàn)，.如果或上有與，同色的點(diǎn)，則

即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形.如果與上除與外其余點(diǎn)均與，異色，則在上取異于的兩點(diǎn)，，并過(guò)作，垂足為，則即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形.因此，平面上一定存在三頂點(diǎn)同色的直角三角形，設(shè)其中之一為.將對(duì)稱(chēng)地補(bǔ)成矩形.用兩組分別平行于與的等分平行線(xiàn)將矩形等分成個(gè)與原矩形相似的小矩形.（如圖）

以下用反證法證明：若為奇數(shù)，則在這些小矩形中必有一個(gè)，它的頂點(diǎn)中至少有三個(gè)同色，即存在一個(gè)三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.假設(shè)不存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.線(xiàn)段上端點(diǎn)及分點(diǎn)共個(gè)，為偶數(shù)，因此上必有相鄰的兩點(diǎn)同色（若每相鄰兩點(diǎn)異色，則，亦應(yīng)異色，與已知矛盾），不妨設(shè)為，.則，所在的小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)必與，異色（否則已出現(xiàn)同色小三角形）.依次類(lèi)推，可知矩形中，每條豎線(xiàn)上的兩頂點(diǎn)都同色.同理，線(xiàn)段上有相鄰兩點(diǎn)，同色，也有矩形，其中每條橫線(xiàn)上的兩頂點(diǎn)都同色.設(shè)矩形與的公共部分為小矩形，由以上所說(shuō)，與同色且與同色，從而即是三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.這與假設(shè)矛盾.因此必存在一個(gè)三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.這個(gè)三頂點(diǎn)同色的小直角三角形與原直角三角形是相似的，相似比為，當(dāng)時(shí)就是題目所要證明的結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中，為的中點(diǎn)，為外心，點(diǎn)滿(mǎn)足.

（1）證明：；

（2）若，設(shè)與相交于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進(jìn)，市民的出行也越來(lái)越便利，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某條地鐵線(xiàn)路運(yùn)行時(shí)，發(fā)車(chē)時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿(mǎn)足: ，平均每班地鐵的載客人數(shù) （單位：人）與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔近似地滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：，

（1）若平均每班地鐵的載客人數(shù)不超過(guò)1560人，試求發(fā)車(chē)時(shí)間間隔的取值范圍；

（2）若平均每班地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），則當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校高一學(xué)生有1000名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的測(cè)驗(yàn)成績(jī)得如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）求該學(xué)校高一學(xué)生隨機(jī)抽取的200名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表）；

（2）試估計(jì)該校高一學(xué)生在這一次的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?cè)趨^(qū)間之內(nèi)的概率是多少？測(cè)驗(yàn)成績(jī)?cè)趨^(qū)間之外有多少位學(xué)生？（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某果農(nóng)從經(jīng)過(guò)篩選（每個(gè)水果的大小最小不低于50克，最大不超過(guò)100克）的10000個(gè)水果中抽取出100個(gè)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表：

級(jí)別

大�。ǹ耍�

頻數(shù)

頻率

一級(jí)果

5

0.05

二級(jí)果

三級(jí)果

35

四級(jí)果

30

五級(jí)果

20

合計(jì)

100

請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解得下列問(wèn)題：

（1）求的值，并完成頻率分布直方圖；

（2）若從四級(jí)果，五級(jí)果中按分層抽樣的方法抽取5個(gè)水果，并從中選出2個(gè)作為展品，求2個(gè)展品中僅有1個(gè)是四級(jí)果的概率；

（3）若將水果作分級(jí)銷(xiāo)售，預(yù)計(jì)銷(xiāo)售的價(jià)格元/個(gè)與每個(gè)水果的大小克關(guān)系是：，則預(yù)計(jì)10000個(gè)水果可收入多少元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】榆林市政府堅(jiān)持保護(hù)環(huán)境和節(jié)約資源，堅(jiān)持推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)。若市財(cái)政局下?lián)軐?zhuān)款100百萬(wàn)元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個(gè)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目，植綠護(hù)綠項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的生態(tài)收益可表示為投放資金(單位：百萬(wàn)元)的函數(shù)(單位：百萬(wàn)元)：，處理污染項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的生態(tài)收益可表示為投放資金單位：(單位：百萬(wàn)元)的函數(shù)(單位：百萬(wàn)元)：。

(1)設(shè)分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為(百萬(wàn)元)，則兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的收益總和為y，寫(xiě)出y關(guān)于的函數(shù)解析式和定義域；

(2)試求出y的最大值，并求出此時(shí)對(duì)兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目的投資分別為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知A(a,0)、B(0,b)（其中ab≠0）O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足,求P點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)是線(xiàn)段AB的n+1（n≥1）等分點(diǎn)，當(dāng)n=2018時(shí)，求的值；

（3）若a=b=1,t∈[0,1],求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)

（1）若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)若為函數(shù)的極大值，且

①求的值；

②求證：對(duì)于.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給定，，，所對(duì)的邊分別是，，，在所在平面作直線(xiàn)與的某兩邊相交，沿將折成一個(gè)空間圖形，將由分成的小三角形的不在上的頂點(diǎn)與另一部分的頂點(diǎn)連接，形成一個(gè)三棱錐或四棱錐。問(wèn)：

（1）當(dāng)時(shí)，如何作，并折成何種錐體，才能使所得錐體體積最大？（需詳證）

（2）當(dāng)時(shí)，如何作，并折成何種錐體，才能使所得錐體體積最大？（敘述結(jié)果，不要證明）

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