Question

【題目】已知函數(shù)，為的導數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點；

（Ⅲ）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）將代入求出切點坐標，由題可得，將代入求出切線斜率，進而求出切線方程。

（Ⅱ）設(shè)，則，由導函數(shù)研究的單調(diào)性進，而得出答案。

（Ⅲ）題目等價于，易求得，利用單調(diào)性求出的最小值，列不等式求解。

（Ⅰ），所以，即切線的斜率，且，從而曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）設(shè)，則.

當時，；當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又，故在存在唯一零點.

所以在存在唯一零點.

（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為， 且的對稱軸所以 .

由(Ⅱ)知，在只有一個零點，設(shè)為，且當時，；當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又，所以當時，.

所以，即，因此，的取值范圍是.