Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x﹣a|+b．
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0．
（2）設(shè)常數(shù)b＜﹣1，且對(duì)任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：充分性：若a²+b²=0，則a=b=0，
∴f（x）=x|x|對(duì)任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0
∴f（x）為奇函數(shù)，故充分性成立
必要性：若f（x）為奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，
∴f（0）=0，解得b=0，
∴f（x）=x|x﹣a|，
由f（1）+f（﹣1）=0，即|1﹣a|﹣|a+1|=0，|1﹣a|=|1+a|得：a=0．
∴a²+b²=0．
故f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0
（2）解：由b＜﹣1＜0，
當(dāng)x=0時(shí)a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立
當(dāng)0＜x≤1時(shí)f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x﹣恒成立
令g（x）=x+在0＜x≤1上單調(diào)遞增，
∴a＞g（x）_max=g（1）=1+b
令h（x）=x﹣，則h（x）在（0，]上單調(diào)遞減，[，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)b＜﹣1時(shí)h（x）=x﹣在0＜x≤1上單調(diào)遞減，
∴a＜h（x）_min=h（1）=1﹣b．
∴1+b＜a＜1﹣b