Question

已知向量

a

=（cosωx-sinωx，sinωx），

b

=（-cosωx-sinωx，2

3

cosωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

的最小正周期為2π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換，求得f（x）的解析式，在利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可確定函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=（cosωx-sinωx）•（-cosωx-sinωx）+sinωx•2

3

cosωx
=sin²ωx-cos²ωx+

3

sin2ωx=-cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx-

π

6

），
再根據(jù)f（x）的周期為2π，可得

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

，故f（x）=2sin（x-

π

6

）．
（Ⅱ）將f（x）=2sin（x-

π

6

）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（2x-

π

6

）的圖象，
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，∴g（x）∈[-1，2]．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．