Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=5，且nS_n+1=2n（n+1）+（n+1）S_n（n∈N^*），則與過點(diǎn)P（n，a_n）和點(diǎn)Q（n+2，a_n+1）（n∈N^*）的直線平行的向量可以是（　　）

• A、（1，2）
• B、（-

  1

  2

  ，2）
• C、（2，

  1

  2

  ）
• D、（4，1）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由nS_n+1=2n（n+1）+（n+1）S_n，得

Sn+1

n+1

=2+

Sn

n

，從而{

Sn

n

}為等差數(shù)列，由點(diǎn)P（n，a_n）和點(diǎn)Q（n+2，a_n+1）（n∈N^*），得

an+1-an

n+2-n

=2，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：由nS_n+1=2n（n+1）+（n+1）S_n，
得

Sn+1

n+1

=2+

Sn

n

，
∴{

Sn

n

}為等差數(shù)列，
∴

Sn

n

=

S1

1

+（n-1）•2=2n+3，
∴S_n=2n²+3n，
a_n=S_n-S_n-1=4n+1，
∵點(diǎn)P（n，a_n）和點(diǎn)Q（n+2，a_n+1）（n∈N^*），
∴

an+1-an

n+2-n

=2，
∴直線PQ的方向向量（k，2k）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與直線平行的向量的求法，是中檔題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出S_n=2n²+3n．