Question

已知命題P：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立；命題q：y=（2a-1）^x為減函數(shù)；若p∧q為假，p∨q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：先求出命題p，q下的a的取值范圍，再根據(jù)p∧q為假，p∨q為真得p，q一真一假，所以討論p，q的真假情況，求出每一種情況下的a的取值范圍，再求并集即可．

解答： 解：∵|x-1|+|x+1|≥|x-1-（x+1）|=2，即|x-1|+|x+1|的最小值為2；
又3a≤|x-1|+|x+1|，∴3a≤2，∴a≤

2

3

；
∵函數(shù)（2a-1）^x為減函數(shù)，∴0＜2a-1＜1，解得

1

2

＜a＜1；
若p∧q為假，p∨q為真，則p，q一真一假；
若p真q假，則：a≤

2

3

，且a≤

1

2

，或a≥1，∴a≤

1

2

；
若p假q真，則：a＞

2

3

，且

1

2

＜a＜1，∴

2

3

＜a＜1；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

1

2

]∪(

2

3

，1)．

點(diǎn)評：考查絕對值不等式的性質(zhì)：|a|+|b|≥|a-b|，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的關(guān)系．