Question

【題目】調(diào)查表明，市民對城市的居住滿意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設(shè)、物價與收入的滿意度有極強(qiáng)的相關(guān)性，現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿意度指標(biāo)分別記為x、y、z，并對它們進(jìn)行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意，再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評定居民對城市的居住滿意度等級：若ω≥4，則居住滿意度為一級；若2≤ω≤3，則居住滿意度為二級；若0≤ω≤1，則居住滿意度為三級，為了解某城市居民對該城市的居住滿意度，研究人員從此城市居民中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查，得到如下結(jié)果：

人員編號	1	2	3	4	5
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，1，1）	（1，2，1）
人員編號	6	7	8	9	10
（x，y，z）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，0，0）	（1，1，1）

（1）在這10名被調(diào)查者中任取兩人，求這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率；
（2）從居住滿意度為一級的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取一人，其綜合指標(biāo)為m，從居住滿意度不是一級的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量ξ=m﹣n，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：記事件A為“從10被調(diào)查者中任取兩人，這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同”，

則居住滿意指標(biāo)z為0的只有編號為9的一位，

居住滿意指標(biāo)z為1的有編號為2，4，5，7，10，共五位，

居住滿意指標(biāo)z為2的有編號為1，3，6，8，共四位，

從10被調(diào)查者中任取兩人，基本事件總數(shù)n= =10，

這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的結(jié)果為 =16，

∴這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率p= ．

（2）解：計算10名被調(diào)查者的綜合指標(biāo)，可列下表：

人員編號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
綜合指標(biāo)	4	4	6	2	4	5	3	5	1	3

其中居住滿意度為一級的有編號為1，2，3，5，6，8共六位，則m的可能取值為4，5，6，

居住滿意度不是一級的有編號為4，7，9，10共四位，則n的可能取值為1，2，3，

∴ξ=m﹣n的可能取值為1，2，3，4，5，

P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，

P（ξ=3）= = ，

P（ξ=4）= = ，

P（ξ=5）= = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	p>3	4	5
P

Eξ= =

【解析】（1）記事件A為“從10被調(diào)查者中任取兩人，這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同”，從10被調(diào)查者中任取兩人，先求出基本事件總數(shù)，再求出這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的結(jié)果，由此能求出這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率．（2）由題意ξ=m﹣n的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．