Question

已知函數(shù)f(x)=(t∈R)在［1,2］上的最小值為,P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)是函數(shù)f(x)=圖象上不同兩點(diǎn),且線(xiàn)段P₁P₂的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.

(1)求t的值;

(2)求證:點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值;

(3)若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=f()(m∈N^*,n=1,2,…,m),求數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)和S_m.

Answer 1

(1)解:當(dāng)t＞0時(shí),f(x)在［1,2］上單調(diào)遞減,又f(x)的最小值為,∴f(2)=,得t=1.

當(dāng)t＜0時(shí),f(x)在［1,2］上單調(diào)遞增,又f(x)的最小值為,∴f(1)=,得t=2(舍去);

當(dāng)t=0時(shí),f(x)=(舍去),∴t=1,f(x)=.

(2)證明:∵x_P=,∴x₁+x₂=1.

而y₁+y₂=+==

==.∴y₁+y₂=，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.

(3)解:由(2)可知,f(x)+f(1-x)=,∴f()+f(1)=(1≤n≤m-1),即f()+f()=,

∴a_n+a_m-n=.而a_m=f(1)=,

由S_m=a₁+a₂+a₃+…+a_m-1+a_m,①得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3+…+a₁+a_m,②

由①+②,得2S_m=(m-1)×+2a_m=+2×=.∴S_m=(3m-1)(m∈N^*).