【題目】已知函數(shù)，其中，e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若是上的增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若，證明：.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由是上的增函數(shù)等價于恒成立，得，求的最大值，即可得到本題答案；

（2）由，證明當(dāng)時，的最小值大于0，即可得到本題答案.

解：（1），是上的增函數(shù)等價于恒成立.

令，得，令.以下只需求的最大值.

求導(dǎo)得，令，，

是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點，

當(dāng)，，，遞增；

當(dāng)，，，遞減；

故當(dāng)時，取得極大值且為最大值，所以.

（2），令，

以下證明當(dāng)時，的最小值大于0.

求導(dǎo)得.

①當(dāng)時，，；

②當(dāng)時，，令.

則，又，

取且使，即，則，

因為，故存在唯一零點，即有唯一的極值點且為極小值點，又，且，即，

故，因為，故是上的減函數(shù).

所以，所以.

綜上，當(dāng)時，總有.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求直線的斜率；

(2)若，，成等差數(shù)列，求點Q的軌跡方程.

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A. 同去年相比，深圳的變化幅度最小且廈門的平均價格有所上升

B. 天津的平均價格同去年相比漲幅最大且2019年北京的平均價格最高

C. 2019年平均價格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州

D. 同去年相比，平均價格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京

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【題目】有著“中國碳谷”之稱的安徽省淮北市，名優(yōu)特產(chǎn)眾多，其中“塔山石榴”因其青皮軟籽、籽粒飽滿、晶瑩剔透、汁多味甘而享譽天下.現(xiàn)調(diào)查表明，石榴的甜度與海拔、日照時長、晝夜溫差有著極強的相關(guān)性，分別用表示石榴甜度與海拔、日照時長、溫差的相關(guān)程度，并對它們進(jìn)行量化：0表示一般，1表示良，2表示優(yōu)，再用綜合指標(biāo)的值評定石榴的等級，若則為一級；若則為二級；若則為三級.近年來，周邊各地市也開始發(fā)展石榴的種植，為了了解目前石榴在周邊地市的種植情況，研究人員從不同地市隨機抽取了12個石榴種植園，得到如下結(jié)果：

種植園編號

A

B

C

D

E

F

種植園編號

G

H

I

J

K

L

（1）若有石榴種植園120個，估計等級為一級的石榴種植園的數(shù)量；

（2）在所取樣本的二級和三級石榴種植園中任取2個，表示取到三級石榴種植園的數(shù)量，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）過點的直線與曲線C交于A，B兩點，設(shè)，，過A點作，垂足為，過B點作，垂足為，求的取值范圍.

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【題目】設(shè)，。

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論零點的個數(shù)；

（3）當(dāng)時，設(shè)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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（2）求的取值范圍；

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（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若，求證：．

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（1）當(dāng)時，證明，，；

（2）若函數(shù)在上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.

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