Question

定義函數(shù)f（x）=

1，x＜0 ex，x≥0

，以下幾個命題中：
①存在實數(shù)a，使f（a）•f（-a）=1；
②任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）≥2f（ab）；
③存在實數(shù)a，b，使f（a）+f（b）=f（ab）；
④任意a，b∈R，都有f（a）•f（b）≥f（a+b）
正確的命題個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①取a=0，則f（0）=1，滿足條件；
②任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）=ea2+eb2≥2ea2+b2≥2e^2|ab|
分類討論ab＜0，ab≥0，即可得出；
③假設(shè)a＞0，b＞0，取eb=

ea

ea-1

，滿足f（a）+f（b）=f（ab）；
④任意a，b∈R，分類討論：當(dāng)ab=0時；當(dāng)ab＜0時；當(dāng)a＞0，b＞0時；當(dāng)a＜0，b＜0時．即可判斷出．

解答： 解：①存在實數(shù)a，使f（a）•f（-a）=1，正確，例如取a=0，則f（0）=1；
②任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）=ea2+eb2≥2ea2+b2≥2e^2|ab|
若ab＜0，則f（a²）+f（b²）≥2e＞1，成立，
若ab≥0，則f（a²）+f（b²）≥2e^2ab＞2e^ab=2f（ab）．
綜上可知正確．
③假設(shè)a＞0，b＞0，取eb=

ea

ea-1

，則f（a）+f（b）=ea+

ea

ea-1

=e^ab=f（ab）；
④任意a，b∈R，
當(dāng)ab=0時，則f（a）f（b）=f（0）f（b）=f（b）=f（a+b），因此f（a）•f（b）≥f（a+b）成立；
當(dāng)ab＜0時，不妨設(shè)a＞0＞b，則f（a）•f（b）=f（a）＞f（a+b），因此f（a）•f（b）≥f（a+b）成立；
當(dāng)a＞0，b＞0時，f（a）•f（b）=e^a+b=f（a+b），成立；
當(dāng)a＜0，b＜0時，f（a）f（b）=1=f（a+b）．
綜上可知：都有f（a）•f（b）≥f（a+b）
即正確的命題個數(shù)為4．
故選：D．

點評：本題考查了分類討論和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．