Question

【題目】數(shù)列，，滿足：，，．

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若數(shù)列，都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列從第二項起為等差數(shù)列；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，試判斷當(dāng)時，數(shù)列是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）數(shù)列成等差數(shù)列．

【解析】

試題（１）證明一個數(shù)列為等差數(shù)列，一般從等差數(shù)列定義出發(fā)：，其中為等差數(shù)列的公差（2）同（1），先根據(jù)關(guān)系式，解出，再從等差數(shù)列定義出發(fā)，其中分別為等差數(shù)列，的公差（3）探究性問題，可將條件向目標(biāo)轉(zhuǎn)化，一方面，所以，即，另一方面，所以，整理得，從而，即數(shù)列成等差數(shù)列．

試題解析：證明：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，

∵，

∴，

∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．

（2）當(dāng)時，，

∵，∴，∴，

∴，

∵數(shù)列，都是等差數(shù)列，∴為常數(shù)，

∴數(shù)列從第二項起為等差數(shù)列．

（3）數(shù)列成等差數(shù)列．

解法１ 設(shè)數(shù)列的公差為，

∵，

∴，∴， ，，

∴，

設(shè)，∴，

兩式相減得：，

即，∴，

∴，

∴，

令，得，

∵，∴，∴，

∴，∴，

∴數(shù)列（）是公差為的等差數(shù)列，

∵，令，，即，

∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．

解法2 ∵，，

令，，即，

∴，，

∴，

∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴，

∴，

∵，∴，

∴數(shù)列是等差數(shù)列．