Question

設(shè)橢圓M：(a＞b＞0)的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，設(shè)過右焦點(diǎn)F傾斜角為的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)。
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求證| AB | =；
（Ⅲ）設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB| + |CD|的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）。

解：（Ⅰ）所求橢圓M的方程為…4分
（Ⅱ）當(dāng)≠，設(shè)直線AB的斜率為k = tan，焦點(diǎn)F ( 3 , 0 )，則直線AB的方程為
y = k ( x – 3 )              有( 1 + 2k² )x² – 12k²x + 18( k² – 1 ) =" 0"
設(shè)點(diǎn)A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )             有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =
|AB| = ** … 6分
又因?yàn)?nbsp;k = tan=             代入**式得
|AB| = ………… 8分
當(dāng)=時(shí)，直線AB的方程為x = 3，此時(shí)|AB| =……………… 10分
而當(dāng)=時(shí)，|AB| ==
綜上所述：所以|AB| =……………… 11分
（Ⅲ）過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，
同理可得         |CD| == ……………………… 12分
有|AB| + |CD| =+=
因?yàn)閟in2∈[0，1]，所以  當(dāng)且僅當(dāng)sin2=1時(shí)，|AB|+|CD|有最小值是 …… 16分