Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

（1）求的解析式及單調(diào)減區(qū)間；

（2）是否存在常數(shù)，使得對于定義域的任意恒成立，若存在，求出 的值；若

不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)，減區(qū)間為和；(2).

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；(2)借助題設(shè)分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識探求.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又由題意有：，所以，故.此時，，由,解得或.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.

（2）要恒成立，即，即.①當(dāng)時，,則要恒成立，令，則,令，則,所以在內(nèi)遞減，所以當(dāng)時，，故，所以在內(nèi)遞增，，故.②當(dāng)時，, 則要恒成立. 由①可知，當(dāng)時，,所以在內(nèi)遞增，所以當(dāng)時，,故,所以在內(nèi)遞增,，故. 綜合① ②可得:, 即存在常數(shù)滿足題意.