如圖，已知直線與拋物線y2=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為（2，1），求p的值．
因為A、B兩點在拋物線y2=2px上，設(shè)點A（
y12
2p
，y1），B（
y22
2p
，y2）
∵
OA
⊥
OB
∴
OA
•
OB
=
y12
2p
•
y22
2p
+y1y2=0⇒y1y2(
y1y2
4p2
+1)=0
∵y1y2≠0，∴
y1y2
4p2
+1=0⇒y1y2=-4p2…①
∵直線AB的斜率為k=
y1-y2
y12
2p
-
y22
2p
=
2p
y1+y2

∴直線AB的方程為y-y1=
2p
y1+y2
(x-
y12
2p
)，
令y=0，得-y1=
2p
y1+y2
(x-
y12
2p
)⇒-y12-y1y2=2px-y12
∴-y1y2=2px…②
將①代入②，得4p2=2px⇒x=2p
所以直線AB經(jīng)過x軸上的定點M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率為k1=
0-1
0-2
=
1
2

∴直線AB的斜率為k=
-1
k1
=-2，
∴結(jié)合D、M的坐標，可得k=
0-1
2p-2
=-2，解之得p=
5
4
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若拋物線的焦點到準線的距離為2，且過點（1，2），則拋物線的方程式為（　�。�
A．y2=4xB．y2=±4x
C．x2=4y或y2=4xD．以上都不對

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

求滿足下列條件的曲線方程：
（1）經(jīng)過兩點P(-2
3
，1)，Q(
3
，-2)的橢圓的標準方程；
（2）與雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1有公共漸近線，且經(jīng)過點（-3，2
3
）的雙曲線的標準方程；
（3）焦點在直線x+3y+15=0上的拋物線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的頂點在原點，它的準線經(jīng)過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左焦點，且與x軸垂直，拋物線與此雙曲線交于點(
3
2
，
6
)，求拋物線和雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知△FAB，點F的坐標為（1，0），點A、B分別在圖中拋物線y2=4x及圓（x-1）2+y2=4的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，那么△FAB的周長的取值范圍為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知以向量
v
=(1，
1
2
)為方向向量的直線l過點(0，
5
4
)，拋物線C：y2=2px（p＞0）的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準線上．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若
OA
•
OB
+p2=0（O為原點，A、B異于原點），試求點N的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知實數(shù)x、y滿足方程（x-a+1）2+（y-1）2=1，當0≤y≤b（b∈R）時，由此方程可以確定一個偶函數(shù)y=f（x），則拋物線y=-
1
2
x2的焦點F到點（a，b）的軌跡上點的距離最大值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)O為坐標原點，拋物線y2=4x與過焦點的直線交于A、B兩點，則
OA
•
OB
=（　�。�
A．-
3
4
B．
3
4
C．-3D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

拋物線x=
1
8
y2的準線方程是（　　）
A．x=-4B．x=-2C．y=-4D．y=-2

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