Question

將一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形鐵片的四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒．
（1）試把方盒的容積V表示為x的函數(shù)．
（2）x多大時(shí)，方盒的容積V最大？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題設(shè)知這個(gè)無(wú)蓋方盒的底面是邊長(zhǎng)為4-2x的正方形，高為x的正四棱柱，由此能把方盒的容積V表示為x的函數(shù)．
（2）由（1）知V=（4-2x）²x，0＜x＜2，求導(dǎo)數(shù)，令V′=0，得x₁=

2

3

，x₂=2（舍）．由此得到函數(shù)的單調(diào)增和單調(diào)減區(qū)間，能求出這個(gè)方盒容積的最大值和取到最大值時(shí)x的值．

解答： 解：由于是在邊長(zhǎng)為4的正方形鐵片的四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形做成一個(gè)無(wú)蓋方盒，
所以無(wú)蓋方盒的底面為正方形，且邊長(zhǎng)為4-2x，高為x，
（1）所以，無(wú)蓋方盒的容積V=（4-2x）²x，0＜x＜2，
（2）∵V=（4-2x）²x，∴V′=12x²-32x+16；
令：V′（x）=0，即12x²-32x+16=0，
∴x=

2

3

或x=2，(0＜x＜2)，
∴x=

2

3

；
當(dāng)x∈(0，

2

3

)時(shí)，V′（x）＞0；    
當(dāng)x∈(

2

3

，2)時(shí)，V′（x）＜0．  
因此，x=

2

3

是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，也就是最大值點(diǎn)，且最大值為

128

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查方盒容積的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求方盒容積的最大值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．