Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x的圖象和函數(shù)g（x）=2x²+x+m的圖象在y軸右側(cè)有兩個不同的交點，設兩個交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）設直線AB的斜率為k，求證：x₁x₂＜2（x₁+x₂-2）＜k．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）構造輔助函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求其導函數(shù)，得到導函數(shù)的兩個零點為-

2

3

，2，由導函數(shù)的符號可知函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，由f（x）與g（x）的圖象的兩個交點都在y軸右側(cè)，可得h（0）＞0，h（2）＜0，聯(lián)立不等式組求解m的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0＜x₁＜2，x₂＞2，則（x₁-2）（x₂-2）＜0，整理后得到x₁x₂＜2（x₁+x₂-2），把A，B坐標代入g（x）后作差得到k=

y1-y2

x1-x2

=2(x1+x2+

1

2

)，再由2(x1+x2+

1

2

)＞2(x1+x2-2)證得答案．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=x³-3x，g（x）=2x²+x+m，
令h（x）=f（x）-g（x）=x³-2x²-4x-m，
則h′（x）=3x²-4x-4．
由h′（x）=0，得：x=-

2

3

，x=2．
當x∈（0，2）時，h′（x）＜0，h（x）為增函數(shù)；
當x∈（2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為減函數(shù)．
又h（0）=-m，h（2）=-8-m．
且f（x）與g（x）的圖象的兩個交點都在y軸右側(cè)，
∴

-m＞0 -m-8＜0

，解得：-8＜m＜0；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，0＜x₁＜2，x₂＞2．
∴（x₁-2）（x₂-2）＜0，即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4＜0，
x₁x₂＜2（x₁+x₂-2）．
∵y1=2x12+x1+m，y2=2x22+x2+m．
∴y₁-y₂=（x₁-x₂）（2x₁+2x₂+1）．
∴k=

y1-y2

x1-x2

=2(x1+x2+

1

2

)．
∵2(x1+x2+

1

2

)＞2(x1+x2-2)，
∴x₁x₂＜2（x₁+x₂-2）＜k．

點評：本題考查利用導數(shù)求解兩曲線的交點個數(shù)，運用了構造函數(shù)的方法，考查了不等式的證明，訓練了“點差法”求直線的斜率，是壓軸題．