Question

15．已知某牌子汽車(chē)生產(chǎn)成本C（萬(wàn)元）與月產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4x，單價(jià)p與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為p=25-$\frac{1}{8}x$，假設(shè)產(chǎn)品能全部售出．
（1）求利潤(rùn)函數(shù)f（x）的解析式，并寫(xiě)出定義域；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量x為何值時(shí)，利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）利潤(rùn)f（x）等于收入R減去成本C，收入R等于產(chǎn)量×價(jià)格，求出函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）因?yàn)槔麧?rùn)f（x）等于收入R減去成本C，收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格．
所以，收入R=px=（25-$\frac{1}{8}x$）x=25x-$\frac{1}{8}{x^2}$，
∴f（x）=R-C=（25x-$\frac{1}{8}{x^2}$）-（100+4x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$+21x-100．
由$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 25-\frac{1}{8}x＞0\end{array}\right.$得  0≤x＜200…（4分）
因此，利潤(rùn)函數(shù)f（x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$+21x-100，定義域?yàn)閇0，200）…（6分）
（2）由（1）得：利潤(rùn)f（x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$+21x-100=$-\frac{1}{8}{（x-84）^2}+782$
∴當(dāng)x=84時(shí)，f（x）取得最大值f（84）=782．
答：當(dāng)月產(chǎn)量x為84臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大的利潤(rùn)782萬(wàn)元…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．