Question

已知橢圓的一個焦點，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率e滿足，e，成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的方程；
（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線平分？若存在，求出l的傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于成等比數(shù)列求得離心率e，設(shè)p（x，y）是橢圓上任意一點，依橢圓的定義得x，y的關(guān)系式，即為所求的橢圓方程．
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)l存在，設(shè)l的方程為：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點坐標(biāo)公式即可求得傾斜角的取值范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）∵成等比數(shù)列∴
設(shè)p（x，y）是橢圓上任意一點，依橢圓的定義得
即為所求的橢圓方程．
（2）假設(shè)l存在，因l與直線相交，不可能垂直x軸
因此可設(shè)l的方程為：y=kx+m
由
（k²+9）x²+2kmx+（m²-9）=0①
方程①有兩個不等的實數(shù)根
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0即m²-k²-9＜0②
設(shè)兩個交點M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
∴
∵線段MN恰被直線平分
∴
∵k≠0∴③把③代入②得 
∵k²+9＞0∴∴k²＞3解得或
∴直線l的傾斜角范圍為
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，注意（2）的處理存在性問題的一般方法，首先假設(shè)存在，進(jìn)而根據(jù)題意、結(jié)合有關(guān)性質(zhì)，化簡、轉(zhuǎn)化、計算，最后得到結(jié)論．