【題目】回答下列兩個問題, 并給出例子或證明.
(1)對任意正整數(shù), 在平面上是否都存在個不在同一條直線上的點, 使得任意兩點間的距離都為正整數(shù)?
(2)在平面上是否存在兩兩不同的無限點列組成的點集, 使得內(nèi)所有點不在同一條直線上, 且內(nèi)任意兩點間的距離為正整數(shù)?
【答案】(1)存在.(2)不存在
【解析】
(1)存在.
對于任意的(),取互不相同的個質(zhì)數(shù).
令,
顯然,.
令,
于是,.
在軸上取點,在軸上取點,
易知,這個點,不在同一條直線上,且
為整數(shù).
故為整數(shù).
(2)不存在.
若不然, 假設(shè)存在不共線的無限點列組成的點集,且內(nèi)任意兩點間的距離都為正整數(shù).取不共線的三點∈, 注意到,到之間的整數(shù)值.
而一到之間的整數(shù)值總共只有有限個,
由雙曲線定義可知, 內(nèi)除去三點的其余無限多個點必在以點A 和點B 為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上, 稱它們?yōu)?/span>AB 族雙曲線.
同理, 內(nèi)除去三點的其余無限多個點必在以點B 和點C 為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上, 稱它們?yōu)?/span>BC族雙曲線.
由于三點不共線, 故兩族雙曲線的交點顯然只有有限個.
然而,內(nèi)除去三點的其余無限多個點中的每個點既在AB 族雙曲線上,
又在BC 族雙曲線上,從而, 必在兩族雙曲線的交點上.而兩族雙曲線的交點個數(shù)有限, 矛盾.
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【題目】有一個由0和1構(gòu)成的6行n列的 數(shù)字方陣,其中每行中恰有5個1,任意兩行中同一列都取1的列數(shù)不超過2.求n的 最小值.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)當(dāng)時,是否存在,使得成立?若存在,求實數(shù)的取值范圍,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知.
(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的圖象在點處的切線方程;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】(1)6個人按下列要求站一橫排,甲、乙必須相鄰,有多少種不同的站法?
(2)6個人按下列要求站一橫排,甲不站左端,乙不站右端.有多少種不同的站法?
(3)用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個六位數(shù)且是奇數(shù)(無重復(fù)數(shù)字的數(shù))?
(4)用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個個位上的數(shù)字不是5的六位數(shù)(無重復(fù)數(shù)字的數(shù))?
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【題目】已知函數(shù)y=f1(x),y=f2(x),定義函數(shù)f(x).
(1)設(shè)函數(shù)f1(x)=x+3,f2(x)=x2﹣x,求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)在(1)的條件下,g(x)=mx+2(m∈R),函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)有三個不同的零點,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)f1(x)=x2﹣2,f2(x)=|x﹣a|,函數(shù)F(x)=f1(x)+f2(x),求函數(shù)F(x)的最小值.
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【題目】已知二次函數(shù).
(1)若,求在區(qū)間上的值域;
(2)求在區(qū)間上的最值;
(3)若的在區(qū)間上無最值,求m的取值范圍;
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【題目】某親子公園擬建議廣告牌,將邊長為米的正方形ABCD和邊長為1米的正方形AEFG在A點處焊接,AM、AN、GM、DN均用加強鋼管支撐,其中支撐鋼管GM、DN垂直于地面于M點和N點,且GM、DN、MN長度相等不計焊接點大小
若時,求焊接點A離地面距離;
若記,求加強鋼管AN最長為多少?
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