【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 若 (n∈N*),則稱{an}是“緊密數(shù)列”;
(1)若a1=1, ,a3=x,a4=4,求x的取值范圍;
(2)若{an}為等差數(shù)列,首項a1 , 公差d,且0<d≤a1 , 判斷{an}是否為“緊密數(shù)列”;
(3)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,若數(shù)列{an}與{Sn}都是“緊密數(shù)列”,求q的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意, 且 ,∴2≤x≤3,
∴x的取值范圍是[2,3];
(2)解:由題意,an=a1+(n﹣1)d,∴ ,
隨著n的增大而減小,所以當n=1時, 取得最大值,∴ ≤2,
∴{an}是“緊密數(shù)列”;
(3)解:由題意得,等比數(shù)列{an}的公比q
當q≠1時,所以an=a1qn﹣1,Sn= , ,
因為數(shù)列{an}與{Sn}都是“緊密數(shù)列”,所以 , ,解得 ,
當q=1時,an=a1,Sn=na1,則 =1, ,符合題意,
∴q的取值范圍是 .
【解析】(1)由題意, 且 ,即可求出x的取值范圍;(2)由題意,an=a1+(n﹣1)d, ,根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義即可證明結(jié)論;(3)先設(shè)公比是q并判斷出q≠1,由等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式化簡 ,根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義列出不等式組,再求出公比q的取值范圍.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中,平面α與棱AB,AC,A1C1 , A1B1分別交于點E,F(xiàn),G,H,且直線AA1∥平面α.有下列三個命題:①四邊形EFGH是平行四邊形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正確的命題有( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若存在實數(shù)使得關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓M過C(1,-1),D(-1,1)兩點,且圓心M在x+y-2=0上.
(1)求圓M的方程;
(2)設(shè)點P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點,求四邊形PAMB面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓錐母線長為5,底面圓半徑長為4,點M是母線PA的中點,AB是底面圓的直徑,點C是弧AB的中點;
(1)求三棱錐P﹣ACO的體積;
(2)求異面直線MC與PO所成的角.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點.求異面直線A1E與GF所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點為M,
(1)求過點M且到點P(0,4)的距離為2的直線l的方程;
(2)求過點M且與直線l3:x+3y+1=0平行的直線l的方程.
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