【題目】已知雙曲線過點,且漸近線方程為,直線與曲線交于點、兩點.

(1)求雙曲線的方程;

(2)若直線過原點,點是曲線上任一點,直線,的斜率都存在,記為、,試探究的值是否與點及直線有關,并證明你的結(jié)論;

(3)若直線過點,問在軸上是否存在定點,使得為常數(shù)?若存在,求出點坐標及此常數(shù)的值;若不存在,說明理由.

【答案】1;(2,的值與點及直線無關,證明見解析;(3)存在,, ,理由見解析

【解析】

1)根據(jù)漸近線設出漸近線方程,將點代入即可求出雙曲線的方程.

2)根據(jù)直線與雙曲線的對稱性知道點與點關于原點對稱,設出點、,將其斜率表示出來,利用點在雙曲線上,化簡即可說明為定值且直線與關.

3)根據(jù)題意設出直線與點,聯(lián)立直線與雙曲線,表示出,利用為定值,即與斜率無關,根據(jù)比值即可求出定點的值.

1 因為漸近線方程為.

所以可設雙曲線為,

將點代入,解得

所以雙曲線的方程為

2)直線過原點,由雙曲線的對稱性知道,點、關于原點對稱.

設點 ,,則點

代入,有,

所以,.

代入得.

所以,的值與點及直線無關.

3)由題意知直線斜率存在,故設直線為 ,點、、

,得

,,

所以

解得,此時

練習冊系列答案
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① 證明:數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件為“既是數(shù)列,又是數(shù)列”;

②證明:正數(shù)項數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為“數(shù)列既是數(shù)列,又是數(shù)列”.

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