【題目】如圖1,一藝術拱門由兩部分組成,下部為矩形的長分別為米和米,上部是圓心為的劣弧,
(1)求圖1中拱門最高點到地面的距離:
(2)現(xiàn)欲以點為支點將拱門放倒,放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直,如圖2、圖3、圖4所示,設與地面水平線所成的角為.若拱門上的點到地面的最大距離恰好為到地面的距離,試求的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根據(jù)及,可求得圓的半徑,根據(jù)最高點與圓心的關系即可求得到地面的距離.
(2)通過討論P點所在的位置以及三角函數(shù)的性質可判斷出h取最大值時θ取值范圍.
(1)過O點作交于,交于,交于.如下圖所示:
則即為所求.
因為,
所以
則
所以
即拱門最高點到地面的距離為5米
(2)在拱門放倒過程中,過點O作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點P.
當點P在劣弧CD上時,拱門上的點到地面的最大距離h等于圓O的半徑長與圓心O到地面距離之和;
當點P在線段AD上時,拱門上的點到地面的最大距離h等于點D到地面的距離.
由(1)知,在Rt△OO1B中,OB2.
以B為坐標原點,直線l為x軸,建立如圖所示的坐標系.
①當點P在劣弧CD上時,.
由∠OBx=θ,OB=2 ,
由三角函數(shù)定義,得O(2cos(),2),
則h=2+2,所以當θ即θ時,h取得最大值2+2,
②當點P在線段AD上時,0≤θ.
設∠CBD=φ,在Rt△BCD中,DB2,sinφ,cosφ.
由∠DBx=θ+φ,得D(2(θ+φ),2(θ+φ)).
所以h=2(θ+φ)=4sinθ+2cosθ,
又當0<θ時,h′=4cosθ﹣2sinθ>4cos2sin 0,
所以h=4sinθ+2在[0,]上遞增.
所以當θ時,h取得最大值5.
因為2+25,所以h的最大值為2+2.
綜上,若拱門上的點到地面的最大距離恰好為D到地面的距離,則θ.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若是遞增數(shù)列,數(shù)列滿足:對任意,存在,使得,則稱是的“分隔數(shù)列”.
(1)設,證明:數(shù)列是的分隔數(shù)列;
(2)設是的前n項和,,判斷數(shù)列是否是數(shù)列的分隔數(shù)列,并說明理由;
(3)設是的前n項和,若數(shù)列是的分隔數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知拋物線G的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點P(m,4)到其準線的距離等于5.
(1)求拋物線G的方程;
(2)如圖,過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x2+(y﹣1)2=1交于A、C、D、B四點,試證明|AC||BD|為定值;
(3)過A、B分別作拋物G的切線l1,l2且l1,l2交于點M,試求△ACM與△BDM面積之和的最小值.
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【題目】已知數(shù)據(jù),,,是上海普通職(,)個人的年收入,設這個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,平均數(shù)為,方差為,如果再加上世界首富的年收入,則這個數(shù)據(jù)中,下列說法正確( )
A.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)一定變大,方差可能不變
B.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差變大
C.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差也不變
D.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差可能不變
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【題目】對于定義在上的函數(shù),如果存在兩條平行直線與,使得對于任意,都有恒成立,那么稱函數(shù)是帶狀函數(shù),若,之間的最小距離存在,則稱為帶寬.
(1)判斷函數(shù)是不是帶狀函數(shù)?如果是,指出帶寬(不用證明);如果不是,說明理由;
(2)求證:函數(shù)()是帶狀函數(shù);
(3)求證:函數(shù)()為帶狀函數(shù)的充要條件是.
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【題目】某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張,其中燃油型汽車牌照10萬張,電動型汽車2萬張,為了節(jié)能減排和控制總量,從2013年開始,每年電動型汽車牌照按50%增長,而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張,同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張,以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.
(1)記2013年為第一年,每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)量構成數(shù)列,每年發(fā)放電動型汽車牌照數(shù)為構成數(shù)列,完成下列表格,并寫出這兩個數(shù)列的通項公式;
(2)從2013年算起,累計各年發(fā)放的牌照數(shù),哪一年開始超過200萬張?
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【題目】已知雙曲線過點,且漸近線方程為,直線與曲線交于點、兩點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線過原點,點是曲線上任一點,直線,的斜率都存在,記為、,試探究的值是否與點及直線有關,并證明你的結論;
(3)若直線過點,問在軸上是否存在定點,使得為常數(shù)?若存在,求出點坐標及此常數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)), 橢圓C的參數(shù)方程為為參數(shù))。在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,點A的極坐標為(2,
(1)求橢圓C的直角坐標方程和點A在直角坐標系下的坐標
(2)直線l與橢圓C交于P,Q兩點,求△APQ的面積
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