Question

已知函數(shù)f(x)=1-

m

x+1

，定義域?yàn)椋?1，+∞），且f（2）=-1
（1）求m的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（3）在定義域內(nèi)利用單調(diào)性解不等式f（x）＜-1．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把點(diǎn)代入求出即可，（2）設(shè)x₁＞x₂＞-1，根據(jù)定義直接證明，（3）根據(jù)不等式的解題步驟解出即可．

解答： 解：（1）把（2，-1）代入函數(shù)得：-1=1-

m

3

，解得：m=6；
（2）設(shè)x₁＞x₂＞-1，
∴f（x₁）-f（x₂）=1-

m

x1+1

-1+

m

x2+1

=

m(x1-x2)

(x2+1)(x1+1)

，
∵x₁-x₂＞0，x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即：f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）解1-

6

x+1

＜-1，
即

6

x+1

＞2，
解得：x＜2，
∴-1＜x＜2．
∴不等式的解集為：{x|-1＜x＜2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，不等式的解法，是一道基礎(chǔ)題．