【題目】已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)有2個不同的零點,.
①求實數(shù)a的取值范圍;
②求證:.
【答案】(1)0;(2)①;②詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)切線方程可知,即可求解;
(2)①求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分類討論,顯然時,恒成立,不符合題意,時,由導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)最小值,函數(shù)有零點則最小值需小于0,得,易知在上有1個零點,利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上有1個零點即可求的取值范圍;
②利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)先證明當(dāng),,時,,結(jié)合①可得,取對數(shù)即可得出結(jié)論.
(1)因為,
所以切線的斜率為,解得,
所以實數(shù)的值為0.
(2)①由題意知函數(shù)的定義域為且.
當(dāng)時,恒成立,
所以在上為增函數(shù),
故至多有1個零點,不合題意.
當(dāng)時,令,則.
若,則,
所以在上為增函數(shù);
若,則,
所以在上為減函數(shù).
故的最小值為.
依題意知,解得.
一方面,,所以在上有1個零點.
另一方面,先證明.
令,則
當(dāng)時,,故在上為增函數(shù);
當(dāng)時,.故在上為減函數(shù).
所以的最大值為,故.
因為,所以.
而.
令,,則
當(dāng)時,.故在上為增函數(shù),
所以
故
因此在上有1個零點,
綜上,實數(shù)的取值范圍是.
②先證明當(dāng),,時,
.(*)
不妨設(shè),
(*)式等價,
等價于
在中,令,即證.
令
則,
所以在上為增函數(shù),故,
所以成立,
所以成立.
在中,令,即證.
令,則,
所以在上為減函數(shù),故,
所以成立,
所以成立.
綜上,(*)式成立.
由①得有2個零點,,
則,所以,
兩邊取“”得,
所以.
利用得:,
所以且.
又因為
所以,
故.
因此.
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【題目】已知數(shù)列滿足條件:,且是公比為的等比數(shù)列,設(shè).
(1)求出使不等式成立的的取值范圍;
(2)求和,其中;
(3)設(shè),求數(shù)列的最大項和最小項的值.
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【題目】設(shè)圓C滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1,在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.
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【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若時,對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】某商場在促銷期間規(guī)定:商場內(nèi)所有商品按標價的出售,當(dāng)顧客在商場內(nèi)消費一定金額后,按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎券:
消費金額(元)的范圍 | … | ||||
獲得獎券的金額(元) | 30 | 60 | 100 | 130 | … |
根據(jù)上述促銷方法,顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠,例如:購買標價為400元的商品,則消費金額為320元,獲得的優(yōu)惠額為:元,設(shè)購買商品得到的優(yōu)惠率=(購買商品獲得的優(yōu)惠額)/(商品標價),試問:
(1)若購買一件標價為1000元的商品,顧客得到的優(yōu)惠率是多少?
(2)對于標價在(元)內(nèi)的商品,顧客購買標價為多少元的商品,可得到不小于的優(yōu)惠率?
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【題目】設(shè)實數(shù),整數(shù), .
(1)證明:當(dāng)且時, ;
(2)數(shù)列滿足, ,證明: .
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【題目】如圖,一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動,M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點,那么,當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周,點M,N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是( )
A.B.C.D.
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【題目】設(shè)a>0,0≤x<2π,若函數(shù)y=cos2x-asinx+b的最大值為0,最小值為-4,試求a與b的值,并求使y取得最大值和最小值時的x值.
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【題目】某醫(yī)院體檢中心為回饋大眾,推出優(yōu)惠活動:對首次參加體檢的人員,按200元/次收費,并注冊成為會員,對會員的后續(xù)體檢給予相應(yīng)優(yōu)惠,標準如下:
該休檢中心從所有會員中隨機選取了100位對他們在本中心參加體檢的次數(shù)進行統(tǒng)計,得到數(shù)據(jù)如表:
假設(shè)該體檢中心為顧客體檢一次的成本費用為150元,根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問題:
(1)已知某顧客在此體檢中心參加了3次體檢,求這3次體檢,該體檢中心的平均利潤;
(2)該體檢中心要從這100人里至少體檢3次的會員中,按體檢次數(shù)用分層抽樣的方法抽出5人,再從這5人中抽取2人,每人發(fā)放現(xiàn)金200元.用5表示體檢3次的會員所得現(xiàn)金和,求的分布列及.
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