【題目】設(shè)圓C滿足:①截y軸所得弦長(zhǎng)為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長(zhǎng)的比為3:1,在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

【答案】解法一 設(shè)圓的圓心為P(a,b),半徑為r,則點(diǎn)Px軸,y軸的距離分別為|b|,|a|。由題設(shè)知圓Px軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為90°,Px軸所得的弦長(zhǎng)為r,故r2=2b2。 又圓Py軸所得的的弦長(zhǎng)為2,所以有r2=a2+1。從而得2b2-a2=1。又點(diǎn)P(a,b)到直線x-2y=0的距離為d=,所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),上式等號(hào)成立,從而要使d取得最小值,則應(yīng)有,解此方程組得。又由r2=2b2r=。于是,所求圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=2(x+1)2+(y+1)2=2。------10

解法二 同解法一得d=,∴a-2b=±d,得a2=4b2±bd+5d2

a2=2b2-1代入式,整理得2b2±4bd+5d2+1="0 " ② 把它看作b的二次方程,由于方程有實(shí)根,故判別式非負(fù),即△=8(5d2-1)≥0,得5d2≥1。所以5d2有最小值1,從而d有最小值。將其代入式得2b2±4b+2=0,解得b=±1。將b=±1代入r2=2b2r2=2,由r2=a2+1a=±1。綜上a=±1,b=±1,r2=2。由|a-2b|=1a,b同號(hào)。于是,所求圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=2(x+1)2+(y+1)2=2。--------10

【解析】

試題本題考察的是求圓的方程,圓被軸分成兩段圓弧,其弧長(zhǎng)的比為,劣弧所對(duì)的圓心角為,設(shè)圓的圓心為,圓軸所得的弦長(zhǎng)為,截軸所得弦長(zhǎng)為2,可得圓心軌跡方程,圓心到直線的距離最小,利用基本不等式,求得圓的方程.

試題解析:設(shè)圓心為,半徑為

軸、軸的距離分別為

由題設(shè)知:圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為,故圓截軸所得弦長(zhǎng)為

6分)

又圓截軸所得弦長(zhǎng)為2

.又到直線的距離為

10分)

代入上式得:

上述方程有實(shí)根,故

,

代入方程得

、同號(hào).

故所求圓的方程為.(14分)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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ωx+

0

π

x

Asin(ωx+

0

5

﹣5

0

(1)請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將如表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)fx)的解析式;

(2)將yfx)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到ygx)圖象,求ygx)的圖象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心.

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