Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；

（Ⅲ）若，使（）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是;(2); (3)．

【解析】

試題(1) 根據(jù)原函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)小于等于零恒成立，再把恒成立轉(zhuǎn)化為最值求解，在求解的過程中利用了二次三項式的配方；(2)命題的等價變換是解決本小題的關(guān)鍵，“若使成立”等價于 “當(dāng)時，有”，于是整個問題就化為求函數(shù)的最值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而求最值。

試題解析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.

(1)函數(shù), 2分

因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．

所以當(dāng)時，．

又 ，

故當(dāng)，即時，．

所以于是，故a的最小值為． 6分

(2)命題“若使成立”等價于 “當(dāng)時，有”．

由（Ⅱ），當(dāng)時，， ．

問題等價于：“當(dāng)時，有”． 8分

當(dāng)時，由（Ⅱ），在上為減函數(shù)，

則=，故． 10分

當(dāng)時，由于 在上為增函數(shù)，

故的值域為，即．

由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：

當(dāng)時，，為減函數(shù)；

當(dāng)時，，為增函數(shù)；

所以，=，．

所以，，與矛盾，不合題意． 11分

綜上，得． 12分