Question

設(shè)橢圓M：

x2

a2

+

y2

2

=1（a＞2）的右焦點(diǎn)為F₁，直線l：x=

a2

a2-2

與x軸交于點(diǎn)A，若

OF1

=2

F1A

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設(shè)知

a2-2

=2（

a2

a2-2

-

a2-2

），由此能求出橢圓方程．
（2）由x²+（y-2）²=1，得圓心N（0，2），由已知條件得

PE

•

PF

=

NP

2-1，從而求

PE

•

PF

的最大值轉(zhuǎn)化為求

NP

2的最大值，由此能求出

PE

•

PF

的最大值為11．

解答： 解：（1）由題設(shè)知A（

a2

a2-2

，0），F(xiàn)₁（

a2-2

，0），
由

OF1

=2

F1A

，得

a2-2

=2（

a2

a2-2

-

a2-2

），
解得a²=6，
∴橢圓方程為M：

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由x²+（y-2）²=1，得圓心N（0，2），
則

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1，
從而求

PE

•

PF

的最大值轉(zhuǎn)化為求

NP

2的最大值，…（7分）
∵P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，設(shè)P（x₀，y₀），
∴

x02

6

+

y02

2

=1，即

x

2 0

=6-3

y

2 0

，
∵點(diǎn)N（0，2），
∴

NP

2=

x

2 0

+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12，…（10分）
∵y0∈[-

2

，

2

]，
∴當(dāng)y₀=-1時(shí)，

NP

2取得最大值12，
∴

PE

•

PF

的最大值為11．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．