Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調區(qū)間情況；

（2）若函數(shù)有且只有兩個零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求出導函數(shù)，根據(jù)的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間，可按的正、負、零分類討論；

（2）由（1）需分和討論，時，在上有且只有一個零點；因此在上最大值為0，即最大值點為零點，由此可得零點及，從而可確定另一零點的范圍證得結論，時類似討論可得．

（1）的定義域為，，

當時，時，，在上遞減，時，，在上遞增；

當時，在上，，在上，，在上遞減，在和上分別遞增；

當時，在上，，在上，，在和上分別遞減，在上遞增.

（2）由（1）可知，當時，在上遞減，在和上分別遞增，

在上，當時，，當時，，在上有且只有一個零點；

在上，當時，，當時，，為使有且只有兩個零點，則在上有且只有一個零點，則需在的最大值，可得，零點；

而當時，，，，

∵，

∴，，，，

∴另一個零點滿足：，

∴，

由（1）可知，當時，在和上分別遞減，在上遞增，

在上，當時，，當時，，在上有且只有一個零點；

在上，當時，，當時，，為使有且只有兩個零點，則在上有且只有一個零點，則需在的最大值，可得，零點；

而當時，，，，由上面證明可知，，

∴另一個零點滿足：，

∴，

綜上可知，.