Question

某次考試中，從甲、乙兩個班各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，學(xué)生成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分為及格．
（Ⅰ）從每班抽取的學(xué)生中各隨機(jī)抽取一人，求至少有一人及格的概率
（Ⅱ）從甲班10人中隨機(jī)抽取一人，乙班10人中隨機(jī)抽取兩人，三人中及格人數(shù)記為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由莖葉圖可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出至少有一人及格的概率．
（Ⅱ）由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）由莖葉圖可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，
設(shè)事件“從每班10名同學(xué)中各抽取一人，至少有一人及格”為事件A．
則P（

.

A

）=

6×5

10×10

=

3

10

，
所以P（A）=1-P（

.

A

）=

7

10

．…（4分）
（Ⅱ）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2，3．…（5分）
P（X=0）=

6 C 2 5

10 C 2 10

=

2

15

，
P（X=1）=

4 C 2 5

1 0C 2 10

+

6×5×5

10 C 2 10

=

19

45

，
P（X=2）=

4×5×5

10 C 2 10

+

6C 2 5

10 C 2 10

=

16

45

，
P（X=3）=

4 C 2 5

10 C 2 10

=

4

45

．…（9分）
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	2 15	19 45	16 45	4 45

…（10分）
E（X）=0×

2

15

+1×

19

45

+2×

16

45

+3×

4

45

=

7

5

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的求法，是中檔題．