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對于函數f（x）=x3+ax2-x+1的極值情況，4位同學有下列說法：甲：該函數必有2個極值；乙：該函數的極大值必大于1；丙：該函數的極小值必小于1；�。悍匠蘤（x）=0一定有三個不等的實數根． 這四種說法中，正確的個數是（　�。�
分析：f′（x）=3x2+2ax-1，顯然，判別式（2a）2-4×3×（-1）=4a2+12＞0，故f′（x）有兩個不相等的零點x1，x2，且一正一負，不妨設0＜x1＜x2．f（x）=x3+ax2-x+1圖象必過點（0，1），函數f（x）=x3+ax2-x+1在（-∞，x1）上遞增，（x1，x2）上遞減，（x2，+∞）上遞增，可畫出函數的圖象，可得答案．
解答：解：f（x）=x3+ax2-x+1，則f′（x）=3x2+2ax-1，顯然，判別式（2a）2-4×3×（-1）=4a2+12＞0，
故f′（x）有兩個不相等的零點x1，x2，且一正一負，不妨設x1＜0＜x2．又f（x）=x3+ax2-x+1圖象必過點（0，1）
二次函數f′（x）=3x2+2ax-1，開口向上，且在（-∞，x1）上為正，（x1，x2）上為負，（x2，+∞）上為正，
即函數f（x）=x3+ax2-x+1在（-∞，x1）上遞增，（x1，x2）上遞減，（x2，+∞）上遞增．
由極值的定義可知：函數f（x）必有兩個極值點，且x=x1處是極大值點，x=x2處是極小值點．
由以上性質作函數f（x）=x3+ax2-x+1的圖象
或
由圖1，圖2可知：甲正確；乙正確；丙正確；丁不正確．
故選C．
點評：本題為函數極值的問題，利用導數研究函數的性質，進而得出函數的圖象是解決問題的關鍵，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域為R，且對于一切實數x滿足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）
（1）若f（5）=9，求：f（-5）；
（2）已知x∈[2，7]時，f（x）=（x-2）2，求當x∈[16，20]時，函數g（x）=2x-f（x）的表達式，并求出g（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=0的一根是0，記f（x）=0在區(qū)間[-1000，1000]上的根數為N，求N的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為A，若存在非零實數t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調函數．如果定義域為[0，+∞）的函數f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調函數，那么實數m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x）定義域中任意的x1，x2（x1≠x2）有如下結論
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；
②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
當f(x)=(
1
2
)x時，上述結論中正確的序號是（　�。�
A、①②B、①④C、②③D、③④

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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