已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)于一切實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]時(shí),f(x)=(x-2)2,求當(dāng)x∈[16,20]時(shí),函數(shù)g(x)=2x-f(x)的表達(dá)式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,記f(x)=0在區(qū)間[-1000,1000]上的根數(shù)為N,求N的最小值.
分析:(1)將f(x+2)=f(2-x)中的x用x-2代替得到f(x)=f(4-x),再將f(x+7)=f(7-x)中的x用3+x代替得到f(10+x)=f(4-x);求出函數(shù)的周期;利用周期求出f(-5)
(2)由于x∈[16,17],x-10∈[6,7],求出f(x-10)的值;利用函數(shù)的周期性求出f(x);同樣的方法求出其它各范圍內(nèi)的解析式;求出g(x)的解析式;求出g(x)各段的最值,比較各段最值求出g(x)的最值.
(3)據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出在一個(gè)周期上的根的個(gè)數(shù);求出區(qū)間含周期的個(gè)數(shù),求出區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù).
解答:解(1)由f(x+2)=f(2-x)及f(x+7)=f(7-x)得:f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2,x=7對(duì)稱(chēng).
∴f(x)=f[(x-2)+2]
=f[2-(x-2)]=f(4-x)
=f[7-(3+x)]=f(7+(3+x))
=f(x+10)
∴f(x)是以10為周期的周期函數(shù).
∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9
(2)當(dāng)x∈[16,17],x-10∈[6,7]
∴f(x)=f(x-10)=(x-10-2)2=(x-12)2
當(dāng)x∈(17,20],x-20∈(-3,0],4-(x-20)∈[4,7)
∴f(x)=f(x-20)=f[4-(x-20)]
=f(24-x)=(x-22)2
∴g(x)=
2x-(x-12)2      x∈[16,17]
2x-(x-22)2      x∈(17,20]

∵x∈[16,17]時(shí),g(x)最大值為16,最小值為9;x∈(17,20],g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36
∴g(x)的最大值為36,最小值為9.
(3)由f(0)=0,及f(0)=f(4)=0,知f(0)在[0,10)上至少有兩個(gè)解.
而在[-1000,1000)上有200個(gè)周期,至少有400個(gè)解.又f(1000)=0
所以最少有401個(gè)解.且這401個(gè)解的和為-200.
點(diǎn)評(píng):本題考查據(jù)函數(shù)周期的定義求函數(shù)的周期、考查利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的解析式、
考查利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的根的個(gè)數(shù).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿(mǎn)足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列說(shuō)法正確的有( 。﹤(gè).
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則對(duì)任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線(xiàn)存在,則函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線(xiàn)存在.
③因?yàn)?>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對(duì)求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關(guān).
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線(xiàn)y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時(shí),AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值,則AB的值是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線(xiàn)C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1,曲線(xiàn)C與其在點(diǎn)P1(x1,f(x1))處的切線(xiàn)交于另一點(diǎn)P2(x2,f(x2)),曲線(xiàn)C與其在點(diǎn)P2(x2,f(x2))處的切線(xiàn)交于另一點(diǎn)P3(x3,f(x3)),線(xiàn)段P1P2,P2P3與曲線(xiàn)C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請(qǐng)給出類(lèi)似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點(diǎn).
(1)求a的取值范圍;
(2)過(guò)曲線(xiàn)y=f(x)外的點(diǎn)P(1,0)作曲線(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn),所作切線(xiàn)恰有兩條,切點(diǎn)分別為A、B.
(。┳C明:a=b;
(ⅱ)請(qǐng)問(wèn)△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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