已知函數(shù)f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,t∈R。
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c(a<b<c)處取極值,求t的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)t∈[0,2],使對(duì)任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,求正整數(shù)m的最大值。
解:(Ⅰ),
∵f(x)有三個(gè)極值點(diǎn),
有三個(gè)根a、b、c,
,則,
∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上遞增,在(-1,3)上遞減,
∵g(x)有三個(gè)零點(diǎn),
∴g(-1) >0,g(3) <0,
∴-8<t<24,
即t的取值范圍是(-8,24)。
(Ⅱ)不等式,
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)t∈[0,2],使對(duì)任意的x∈[1,m],不等式恒成立,
即不等式在x∈[1,m]上恒成立。
設(shè),則,
設(shè),則,
∵x∈[1,m],∴<0,
故r(x)在區(qū)間1,m]上是減函數(shù),
又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0,
故存在,使得;
當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí)有
從而在區(qū)間[1,]上遞增,在區(qū)間[,+∞)上遞減,
,
 ,
∴當(dāng)1≤x≤5時(shí),恒ψ(x)>0有;當(dāng)x≥6時(shí),恒有ψ(x)<0,
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)
,
求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
(2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
1
2
]
C、(
1
3
6
11
]
D、[
6
11
,1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

(1)求f(x)的定義域與值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)研究f(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實(shí)數(shù)a≠1.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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