【題目】已知橢圓 ,過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)分別為, ,直線恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)如圖,過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦 ,設(shè) 的中點(diǎn)分別為, ,證明:直線必過定點(diǎn),并求此定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)(2)直線過點(diǎn)

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)直線與圓相切求切線方程,再根據(jù)橢圓幾何條件確定, ,(2)直線過定點(diǎn)問題,一般先利用特殊情況確定定點(diǎn),轉(zhuǎn)化為證三點(diǎn)共線:先聯(lián)立直線 ,與橢圓方程,利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求中點(diǎn)(用直線AB斜率表示),同理可得點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)斜率公式證三點(diǎn)共線.

試題解析:(Ⅰ)由切點(diǎn)弦方程知切線方程為,令,則,所以上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

所以,令,則

所以右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,所以橢圓的方程為.

(Ⅱ)若直線, 斜率均存在,設(shè)直線 , ,

則中點(diǎn).先考慮的情形. 

,

由直線過點(diǎn),可知判別式恒成立,

由韋達(dá)定理,得,故,同理可得.

,得,則直線斜率不存在,此時(shí)直線過點(diǎn)

另當(dāng)斜率為0時(shí),直線也過點(diǎn)

下證動(dòng)直線過定點(diǎn),

, ,

,即直線過點(diǎn)

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(Ⅰ)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出這50戶家庭對(duì)商品房的承受價(jià)格平均值(單位:元/平方);

(Ⅱ)為了作進(jìn)一步調(diào)查研究,小明準(zhǔn)備從承受能力超過4000元/平方的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行再調(diào)查,設(shè)抽出承受能力超過8000元/平方的居民為戶,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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