Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，且長軸長為短軸長的倍.橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不同于兩點(diǎn)).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)直線相交于點(diǎn)，求證：是定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）的坐標(biāo)為或.（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，可得，，，求出，，即可求得橢圓的方程；

（2）由（1）得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)，得出，與橢圓方程聯(lián)立，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)，，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，，分別求出直線和直線的方程，從而求得和的關(guān)系式，化簡整理得出，即為定值.

解：（1）根據(jù)題意，已知橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，且長軸長為短軸長的倍，

得，，，

解得：，，

所以橢圓的方程為：.

（2）由題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，

由于經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，

已知，則，所以,

因?yàn)?/span>，，

則

整理得：，

又，解得：或或（舍去），

所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

（3）由于經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不同于兩點(diǎn))，

設(shè)直線的斜率為，可知斜率存在，則直線的方程為，

由題可知，，設(shè)，，

由方程組，得，

所以，，

由于直線相交于點(diǎn)，

直線的方程為，得，

直線BM的方程為，得，

所以，

因?yàn)?/span>，

得，

所以為定值1.