Question

9．為增加產(chǎn)品利潤，某工廠想投入資金對機(jī)器進(jìn)一步改造升級，經(jīng)過市場調(diào)查，利潤增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：y=$\frac{41}{40}x-t{x^2}-ln\frac{x}{10}$，x∈（1，m]，當(dāng)x=10時，y=9．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求利潤增加值y取得最大時對應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x=10時，y=9，代入可得t，即有函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，討論m＞40，m≤40，由單調(diào)性即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）因為當(dāng)x=10時，y=9，
即$9=\frac{41}{40}×10-t×{10^2}-ln\frac{10}{10}$，
解得$t=\frac{1}{80}$，
所以  $y=\frac{41}{40}x-\frac{x^2}{80}-ln\frac{x}{10}，x∈（1，m]$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，$f'（x）=\frac{41}{40}-\frac{x}{40}-\frac{1}{x}$
=$-\frac{{{x^2}-41x+40}}{40x}=-\frac{（x-1）（x-40）}{40x}$，
令f′（x）=0，得x=40或x=1（舍去），
當(dāng)x∈（1，40）時，f'（x）＞0，f（x）在（1，40）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（40，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）在（40，+∞）上是減函數(shù)．
∴當(dāng)m＞40時，
當(dāng)x∈（1，40）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，40）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（40，m]時，f'（x）＜0，∴f（x）在（40，m]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=40時，y取得最大值；
當(dāng)m≤40時，當(dāng)x∈（1，m）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，m）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=m時，y取得最大值．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用方程的思想，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，以及分類討論的思想方法，屬于中檔題．