Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α位參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立的極坐標(biāo)系中，曲線C₂的方程為ρ=2sinθ．
（1）求C₁和C₂的普通方程；
（2）求C₁和C₂公共弦的垂直平分線的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）把已知參數(shù)方程變形，平方作和得普通方程；把極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ，代入ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（2）由（1）求出兩圓的圓心坐標(biāo)，直接求出過(guò)C₁，C₂的直線方程得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，兩式平方相加得（x-1）²+y²=1；
由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0；
（2）圓C₁的圓心坐標(biāo)為（1，0），圓C₂的圓心坐標(biāo)為（0，1），
則C₁和C₂公共弦的垂直平分線即為過(guò)C₁，C₂的直線，方程為x+y=1，
化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=1，即$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了參數(shù)方程化普通方程，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，是基礎(chǔ)題．