Question

18．在△ABC中，若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，則$\frac{tanB}{tanC}$=7．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的運算得出b²-c²=$\frac{3}{4}$a²，利用正弦定理，余弦定理的結(jié)合三角形得出$\frac{tanB}{tanC}=\frac{sinB}{cosB}•\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{c}$$•\frac{\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}}{{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}$=7即可．

解答 解：∵（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，
∴（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$$-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{3}{4}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，
$\overrightarrow{AC}$²$-\overrightarrow{AB}$²=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$²，
即b²-c²=$\frac{3}{4}$a²，
∵$\frac{tanB}{tanC}=\frac{sinB}{cosB}•\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{c}$$•\frac{\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}}{{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}$=7
∴則$\frac{tanB}{tanC}$=7
故答案為：7

點評 本題考察了三角形的性質(zhì)，平面向量的運用，正弦定理，余弦定理的運用，綜合性較大，屬于難題．