Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+1
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若f（θ）=

5

6

，θ∈（

π

3

，

7π

12

），求sin2θ的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角與兩角和的余弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出函數(shù)的周期．
（Ⅱ）若f（θ）=

5

6

，求出sin（2θ-

π

6

），結合θ的范圍，求出cos（2θ-

π

6

），通過sin2θ=sin[（2θ-

π

6

）+

π

6

]利用兩角差的正弦函數(shù)求解即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+1
=

3

2

sin2x-

cos2x+1

2

+1
=sin（2x-

π

6

）+

1

2

．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期：

2π

2

=π；
（2）∵f（θ）=

5

6

，∴sin（2θ-

π

6

）+

1

2

=

5

6

，sin（2θ-

π

6

）=

1

3

．    …（8分）
∵θ∈（

π

3

，

7π

12

），∴2θ-

π

6

∈（

π

2

，π），
cos（2θ-

π

6

）=-

1-( 1 3 )2

=-

2 2

3

． …（11分）
∴sin2θ=sin（2θ-

π

6

+

π

6

）=

3

2

sin（2θ-

π

6

）+

1

2

cos（2θ-

π

6

）=

3

2

×

1

3

+

1

2

×(-

2 2

3

)=

3 -2 2

6

．  …（14分）

點評：本題考查二倍角公式與兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)值的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．