Question

已知函數(shù)f(x)=a+

2x

2x+1

(a∈R)是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x²-tx）＞f（2x-2t）（其中t∈R）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)建立方程，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答： 解：（1）∵f(x)=a+

2x

2x+1

(a∈R)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=0在R上恒成立．
∴f(x)+f(-x)=a+

2x

2x+1

+a+

2-x

2-x+1

=2a+

2x

2x+1

+

1

2x+1

=2a+1=0，
∴a=-

1

2

．
（2）∵f(x)=-

1

2

+

2x

2x+1

=

1

2

-

1

2x+1

在R上單調(diào)遞增，
∴不等式f（x²-tx）＞f（2x-2t）等價(jià)為x²-tx＞2x-2t，
即x²-（t+2）x+2t＞0，
∴（x-t）（x-2）＞0，
①當(dāng)t＞2時(shí)，x＞t或x＜2；
②當(dāng)t＜2時(shí)，x＞2或x＜t；
③當(dāng)t=2時(shí)，x≠2．
即不等式的解集為：當(dāng)t＞2時(shí)，{x|x＞t或x＜2}；
當(dāng)t＜2時(shí)，{x|x＞2或x＜t}；
當(dāng)t=2時(shí)，{x|x≠2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)．