Question

已知向量

a

=（

1

2

cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

2

cosx）若函數(shù)f(x)=

a

•

b

+1．求：
（1）函數(shù)的最大值及對應(yīng)自變量x的集合．
（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運算法則、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其正弦函數(shù)的取得最大值時的集合即可得出．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

+1=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1=

1

4

cos2x+

3

4

sin2x+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
只需2x+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），
即x=kπ+

π

6

（k∈Z），
∴y_max=

7

4

．
∴當函數(shù)f（x）取最大值

7

4

時，自變量x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ(k∈Z)．
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）．

點評：本題考查了用數(shù)量積運算法則、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其正弦函數(shù)的取得最大值時的集合、正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．