Question

16．若關(guān)于x的不等式x²+36+|x³-6x²|≥ax在[2，10]上恒成立，則a的取值范圍是（-∞，12]．

Answer 1

分析 分離參數(shù)a，把不等式變形為a≤x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x|，只需a小于等于x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x|的最小值即可

解答 解：關(guān)于x的不等式x²+36+|x³-6x²|≥ax在[2，10]上恒成立，
∴a≤x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x|，
而x+$\frac{36}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{36}{x}}$=12，當(dāng)且僅當(dāng)x=6∈[2，10]時(shí)取等號(hào)，
且|x²-6x|≥0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=6∈[1，10]時(shí)成立；
所以x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x||的最小值為12，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=6∈[2，10]時(shí)成立．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，12]．
故答案為：（-∞，12]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題以及絕對(duì)值不等式的解法、基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，本題中要注意等號(hào)須同時(shí)成立．