Question

【題目】已知拋物線(xiàn)： 的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，直線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，直線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率為.

(1)求的取值范圍；

(2)設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)分別為點(diǎn)，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

（1）寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，利用判別式求出的一個(gè)范圍，另外直線(xiàn)的方程為與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立同樣又得出的一個(gè)范圍，兩者求交集即得；

（2）設(shè)，利用韋達(dá)定理可得即點(diǎn)坐標(biāo)，用代替可得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出，得證結(jié)論．

試題解析：

（1）由題設(shè)可知k≠0，所以直線(xiàn)m的方程為y＝kx＋2，與y2＝4x聯(lián)立，

整理得ky2－4y＋8＝0， ①

由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．

直線(xiàn)n的方程為y＝－x＋2，與y2＝4x聯(lián)立，

整理得y2＋4ky－8k＝0，

由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．

所以故k的取值范圍為{k|k＜－2或0＜k＜}．

（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．

由①得，y1＋y2＝，則y0＝，x0＝－，則M(－，)．

同理可得N(2k2＋2k，－2k)．

直線(xiàn)MQ的斜率kMQ＝＝，

直線(xiàn)NQ的斜率kNQ＝＝＝kMQ，

所以直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)Q(2，0)．