Question

一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球表面永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 ．

 

Answer 1

【解析】

試題分析：如圖甲，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點，則小球球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．

因，

故，從而．

記此時小球與面的切點為，連接，則

．

考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如圖乙．記正四面體的棱長為，過作于．

因，有，故小三角形的邊長．

小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答圖2中陰影部分）

．　　　　　　　　　

又，，所以．

由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為．

考點：(1)三棱錐的體積公式；（2）分情況討論及割補思想的應(yīng)用。