Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，短軸長為．

求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

過橢圓C的左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，證明：原點(diǎn)O不在以MN為直徑的圓上．

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

由題意得，，又，求解得到a，b，c的值，代入橢圓方程即可求解．

直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，故設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，假設(shè)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，則，即，即，代入計(jì)算可得，而上述關(guān)于m的方程顯然沒有實(shí)數(shù)解，故原點(diǎn)O不在以MN為直徑的圓上

解：由已知，得，，

又，

，，

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

證明：由得，

易知直線MN不能平行于x軸，

故設(shè)直線MN的方程為，設(shè)、，

聯(lián)立方程得，

，

若原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，則，

即，即，

又

，

，

而上述關(guān)于m的方程顯然沒有實(shí)數(shù)解．故原點(diǎn)O不在以MN為直徑的圓上．