Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（0，2），且在x軸上截得的弦長為4．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）點(diǎn)P為軌跡C上任意一點(diǎn)，直線l為軌跡C上在點(diǎn)P處的切線，直線l交直線：y=-1于點(diǎn)R，過點(diǎn)P作PQ⊥l交軌跡C于點(diǎn)Q，求△PQR的面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)，由圓的半徑、弦心距及半弦長的關(guān)系列式整理求得動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）化（1）中的拋物線方程為函數(shù)式，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，得到切線PR的方程，代入y=-1求得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)，求出PQ所在直線方程，和拋物線聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系求得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出線段PQ和PR的長度，由三角形面積公式得到面積關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)，利用換元法及基本不等式求最值．

解答： 解：（1）設(shè)C（x，y），
由動(dòng)圓過定點(diǎn)A（0，2），且在x軸上截得的弦長為4得，|CA|²-y²=4，
即x²+（y-2）²-y²=4，整理得：x²=4y．
∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為x²=4y；
（2）C的方程為x²=4y，即y=

1

4

x2，故y′=

1

2

x，設(shè)P(t，

t2

4

)，
PR所在的直線方程為y-

t2

4

=

t

2

(x-t)，即y=

t

2

x-

t2

4

，
則點(diǎn)R的橫坐標(biāo)xR=

t2-4

2t

，|PR|=

1+ t2 4

|xR-t|=

4+t2 (t2+4)

4|t|

；                
PQ所在的直線方程為y-

t2

4

=-

2

t

(x-t)，即y=-

2

t

x+2+

t2

4

，
由

y=- 2 t x+2+ t2 4 y= 1 4 x2

，得

x2

4

+

2

t

x-2-

t2

4

=0，由xP+xQ=-

8

t

得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為xQ=-

8

t

-t，|PQ|=

1+ 4 t2

|xP-xQ|=

1+ 4 t2

|

8

t

+2t|=

2 t2+4 (t2+4)

t2

，
∴S△PQR=

1

2

|PQ||PR|=

(t2+4)3

4t2|t|

，不妨設(shè)t＞0，記f(t)=

t2+4

t

，(t＞0)，
則當(dāng)t=2時(shí)，f（t）_min=4．
由S△PQR=

1

4

[f(t)]3，得△PQR的面積的最小值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，是高考試卷中的壓軸題．