Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^x+

1

2x

（1）判斷f（x）為奇偶性；
（2）證明f（x）函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義判定f（-x）是等于f（x），還是等于-f（x）即可．
（2）?0≤x₁＜x₂，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性只要證明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．

解答： 解：（1）?x∈R，則f（-x）=2-x+

1

2-x

=

1

2x

+2x=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）?0≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-(2x2+

1

2x2

)=(2x1-2x2)

2x1+x2-1

2x1+x2

．
∵0≤x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，2x1+x2＞20=1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．