Question

已知函數(shù)f（x）=elnx（e為自然對(duì)數(shù)）．對(duì)于函數(shù)f（x）與h（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k、b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)f（x）與h（x）的分界線．設(shè)h（x）=

1

2

x ²，試探究函數(shù)f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)給予證明，并求出k、b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在x=

e

是處有公共點(diǎn)（

e

，

1

2

e），設(shè)f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為y-

1

2

e=k（x-

e

），構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．

解答： 解：F（x）=h（x）-f（x）=

1

2

x ²-elnx（x＞0），
則F′（x）=x-

e

x

=

(x- e )(x+ e )

x

，
∴當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．
∴x=

e

是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
∴F（x）_min=F（

e

）=0
∴函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在x=

e

是處有公共點(diǎn)（

e

，

1

2

e）．
設(shè)f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為：y-

1

2

e=k（x-

e

）．
令函數(shù)u（x）=

1

2

e+kx-k

e

．
�。┯蒱（x）≥u（x）⇒

1

2

x ²≥

1

2

e+kx-k

e

在x∈R恒成立，
即x²-2kx-e+2k

e

在R上恒成立，
∴△=4k²+4e-8k

e

≤成立，而4（k-

e

）²≥0，
∴k=

e

，故u（x）=

e

x-

1

2

e．
ⅱ）下面再證明：h（x）≥u（x）即elnx≤

e

x-

1

2

e恒成立．
設(shè)φ（x）=elnx-

e

x+

1

2

e，則φ′（x）=

e

x

-

e

=

e- e x

x

．
∴當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，φ′（x）＜0．函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

e

時(shí)，φ（x）取得最大值0，則φ（x）≤φ（x）_max=0，
∴elnx≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．
綜上�。┖廷ⅲ┲�：h（x）≥

e

x-

1

2

e且f（x）=

e

x-

1

2

e
故函數(shù)f（x）與h（x）存在“分界線“為y=

e

x-

1

2

e，此時(shí)k=

e

，b=-

1

2

e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大