Question

在海島上有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A，某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距80

2

海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°+θ（其中sinθ=

26

26

，θ為銳角）且與A點(diǎn)相距20

13

海里的位置C．
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；
（2）若該船始終不改變航行的方向，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后，該船從點(diǎn)C到達(dá)海島正東方向的D點(diǎn)處．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）如圖所示，由sinθ=

26

26

，θ為銳角，可得cosθ=

1-sin2θ

=

5 26

26

．
設(shè)該船的行駛速度為x海里/小時(shí)．在△ABC中，由余弦定理可得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosθ，代入即可得出．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得

AC

sinB

=

BC

sinθ

，可得sinB=

10

10

．可知B為銳角，cosB=

1-sin2B

．可得sin∠ADB=sin（45°+B）．在△ABD中，由正弦定理可得：

AB

sin∠ADB

=

BD

sin45°

，可得BD．CD=BD-BC．設(shè)該船始終不改變航行的方向，經(jīng)過t小時(shí)時(shí)間后，該船從點(diǎn)C到達(dá)海島正東方向的D點(diǎn)處．則30

5

t=CD．即可得出．

解答： 解：（1）如圖所示，
∵sinθ=

26

26

，θ為銳角，
∴cosθ=

1-sin2θ

=

5 26

26

．
設(shè)該船的行駛速度為x海里/小時(shí)．
在△ABC中，由余弦定理可得：
BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosθ，
∴
(

2

3

x)2=(80

2

)2+(20

13

)2-2×80

2

×20

13

×

5 26

26

，
化為x²=4500，
解得x=30

5

．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得

AC

sinB

=

BC

sinθ

，
∴sinB=

AC•sinθ

BC

=

20 13 × 26 26

20 5

=

10

10

．
可知B為銳角，∴cosB=

1-sin2B

=

3 10

10

．
∴sin∠ADB=sin（45°+B）=

2

2

×

3 10

10

+

2

2

×

10

10

=

2 5

5

．
在△ABD中，由正弦定理可得：

AB

sin∠ADB

=

BD

sin45°

，
∴BD=

80 2 × 2 2

2 5 5

=40

5

．
∴CD=BD-BC=20

5

．
設(shè)該船始終不改變航行的方向，經(jīng)過t小時(shí)時(shí)間后，該船從點(diǎn)C到達(dá)海島正東方向的D點(diǎn)處．
則30

5

t=20

5

，解得t=

2

3

．
答：（1）該船的行駛速度30

5

海里/小時(shí)）；
（2）該船始終不改變航行的方向，經(jīng)過

2

3

小時(shí)時(shí)間后，該船從點(diǎn)C到達(dá)海島正東方向的D點(diǎn)處．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理與余弦定理的應(yīng)用、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式、行程問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．