Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-

1

2

n2+4n，
（Ⅰ）求通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=9-2a_n，求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意得，當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)a₁=S₁，求出a_n；
（2）由（1）和題意求出b_n，代入

1

bnbn+1

化簡(jiǎn)并裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=-

1

2

（n-1）²+4（n-1）=-

1

2

n²+5aaaAn-

9

2

，
則a_n=S_n-S_n-1=（-

1

2

n2+4n）-（-

1

2

n²+5n-

9

2

）=-n+

9

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-

1

2

+4=

7

2

，滿足上式．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-n+

9

2

；
（2）由（1）得，b_n=9-2a_n=2n，
所以

1

bnbn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
則T_n=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4n+4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列a_n與S_n的關(guān)系式，以及數(shù)列求和的方法：裂項(xiàng)相消法，是常考的題型．